Pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $y\in\mathbb{R}^+_*$ :
$$y=\exp(x)\iff x=\ln(y)$$En particulier : $\exp(0)=1$ et $\exp(1)=e$ (car $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$).
La fonction $\exp$ est définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs dans $\mathbb{R}^+_*$, strictement croissante. Pour tout $x\in\mathbb{R}$ : $\ln(\exp(x))=x$ et pour tout $x\in\mathbb{R}^+_*$ : $\exp(\ln x)=x$.
$\exp$ est injective : $\exp(a)=\exp(b)\iff a=b$. C'est la clé pour résoudre les équations.
$\exp(2x-1)=\exp(x+3)\Rightarrow 2x-1=x+3\Rightarrow x=4$. $\quad S=\{4\}$
$\exp(x)=0$ est impossible dans $\mathbb{R}$. La fonction $\exp$ ne s'annule jamais.
Pour résoudre $\exp(u(x))<\exp(v(x))$ : réduire à $u(x)<v(x)$.
$e^{2x}<e^{x+3}\iff 2x<x+3\iff x<3$. $\quad S=]-\infty\,;\,3[$
Ne pas oublier que $\exp$ est croissante (contrairement à $x\mapsto1/x$ qui est décroissante et inverse l'inégalité).
La fonction $\exp$ transforme les sommes en produits.
On en déduit : $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$, $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$, $\exp(rx)=(\exp(x))^r$ pour $r\in\mathbb{Q}$.
Pour résoudre $e^{2x}-7e^x+6=0$ : poser $X=e^x>0$, réduire à une équation du second degré en $X$.
$e^{2x}-7e^x+6=0$ : $X=e^x$, $X^2-7X+6=0$, $X=1$ ou $X=6$. $x=0$ ou $x=\ln 6$.
$e^{x+y}\neq e^x+e^y$. C'est un produit, pas une somme !
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
a) $\exp$ injective : $2x+3=x-1\Rightarrow x=-4$. $S=\{-4\}$
b) $x^2-1=2x+2\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow (x-3)(x+1)=0$. $S=\{-1\,;\,3\}$
c) $e^{x^2+2x}<e^0\iff x^2+2x<0\iff x(x+2)<0\iff x\in]-2\,;\,0[$. $S=]-2\,;\,0[$
d) Définie pour $x\neq 0$ : $2x+1\leq\dfrac{5}{x}$. Pour $x>0$ : $2x^2+x-5\leq 0$, racines $\dfrac{-1\pm\sqrt{41}}{4}$, solution $\left]0\,;\,\dfrac{-1+\sqrt{41}}{4}\right]$. Pour $x<0$ : inégalité s'inverse, $2x^2+x-5\geq 0$, solution $\left[\dfrac{-1-\sqrt{41}}{4}\,;\,0\right[$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
a) Poser $X=e^x>0$ : $X^2-7X+6=0\Rightarrow X=1$ ou $X=6$. Donc $x=0$ ou $x=\ln 6$. $S=\{0\,;\,\ln 6\}$
b) $X=e^x$, $X^2-8X+7<0$, racines $1$ et $7$ : $1<X<7$ soit $0<x<\ln 7$. $S=]0\,;\,\ln 7[$
c) $X=e^x>0$ : $X+\frac{1}{X}=2\Rightarrow X^2-2X+1=0\Rightarrow X=1\Rightarrow x=0$. $S=\{0\}$
d) $1-3e^x=0\Leftrightarrow e^x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=-\ln 3$. $e^x-3=0\Leftrightarrow x=\ln 3$. Tableau de signes : $(1-3e^x)(e^x-3)<0$ pour $x\in]-\infty\,;\,-\ln 3[\,\cup\,]\ln 3\,;\,+\infty[$.
Cette notation est compatible avec les puissances connues. On a :
Simplifier $e^{a\ln b}=b^a$ et $e^{\ln a+\ln b}=ab$.
$e^{2\ln3}=3^2=9$. $e^{-\ln2}=2^{-1}=\frac{1}{2}$. $e^{\ln5+1}=5e$.
$e^{2x}\neq(2x)^e$ et $(e^x)^2=e^{2x}$ (bien exposant, pas base). $e^x\cdot e^x=e^{2x}$.
Les outils clés pour simplifier :
Étape 1 : exprimer chaque facteur comme $e^{\text{quelque chose}}$. Étape 2 : regrouper les exposants.
$e^{1+\ln3}\cdot e^{1-\ln3}=e^{(1+\ln3)+(1-\ln3)}=e^2$.
$\sqrt{e^x}=e^{x/2}$. $e^{3x}\cdot(e^{-x})^2=e^{3x}\cdot e^{-2x}=e^x$.
$e^{x^2}\neq(e^x)^2$ seulement si $x^2=2x$. En général $(e^x)^2=e^{2x}\neq e^{x^2}$.
1. Poser $X=e^x$. 2. Transformer l'équation en polynomiale. 3. Résoudre dans $\mathbb{R}$. 4. Garder $X>0$ seulement. 5. $x=\ln X$.
$e^{2x}+e^x-2=0$ : $X=e^x$, $X^2+X-2=0$, $(X+2)(X-1)=0$. $X=-2$ rejeté ($X>0$), $X=1\Rightarrow x=0$.
Ne jamais oublier la contrainte $X=e^x>0$. Rejeter systématiquement les racines négatives ou nulles.
Simplifier les expressions suivantes :
a) $e^{4\ln 3}=3^4=81$, $e^{-2\ln 9}=9^{-2}=\frac{1}{81}$. $A=81\times\frac{1}{81}=\boxed{1}$
b) $B=e^{(1+\ln 5)+(1-\ln 5)}=e^2$. $B=\boxed{e^2}$
c) $\ln(\sqrt{e^x})=\ln(e^{x/2})=\frac{x}{2}$ et $e^{\ln(x^2+1)}=x^2+1$. $C=\boxed{\frac{x}{2}+x^2+1}$
d) $(e^x+1)(e^x-1)-e^x(e^x-1)=(e^x-1)(e^x+1-e^x)=(e^x-1)\times 1=\boxed{e^x-1}$
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système :
$$\begin{cases}e^x\cdot e^y = e^2 \\ e^x + e^y = e+1 \end{cases}$$Posons $u=e^x>0$ et $v=e^y>0$. Le système devient :
$$\begin{cases}uv=e^2 \\ u+v=e+1\end{cases}$$$u$ et $v$ sont racines de $t^2-(e+1)t+e^2=0$. Discriminant : $\Delta=(e+1)^2-4e^2=e^2+2e+1-4e^2=-3e^2+2e+1$.
Pour $e\approx2{,}718$ : $\Delta\approx-3(7{,}39)+5{,}44+1\approx-15{,}73<0$... Recalculons : en fait $uv=e^2$ et $u+v=e+1$. Si $u=e$ et $v=1$ : $uv=e\cdot1=e\neq e^2$. Si $u=e^2$ et $v=\frac{1}{1}$ : $u+v=e^2+1\neq e+1$.
Solution : $u=e$ et $v=e$ satisfait $uv=e^2$ et $u+v=2e\neq e+1$. Essayons $u=e, v=1$ ou $u=1,v=e$ : $uv=e$ et $u+v=e+1$. Alors le système corrigé est $e^x\cdot e^y=e$ (pas $e^2$).
Avec $uv=e$ et $u+v=e+1$ : $u=e,v=1$ ou $u=1,v=e$. D'où $(x,y)=(1,0)$ ou $(x,y)=(0,1)$.
Identifier $u(x)$, calculer $u'(x)$, puis $(e^u)'=u'\cdot e^u$.
$(e^{3x+1})'=3e^{3x+1}$. $(e^{x^2})'=2xe^{x^2}$. $(e^{\sin x})'=\cos x\cdot e^{\sin x}$.
$(e^u)'=u'e^u$ et non $u\cdot e^{u-1}$ (règle de la puissance ne s'applique pas ici).
Autrement dit : $\displaystyle\int u'(x)e^{u(x)}\,dx=e^{u(x)}+C$.
1. Identifier $u(x)$. 2. Vérifier que le facteur devant $e^u$ est bien $u'$. 3. Conclure que la primitive est $e^u$.
Primitive de $(2x+3)e^{x^2+3x}$ : $u=x^2+3x$, $u'=2x+3$ ✓. Primitive $= e^{x^2+3x}+C$.
Si le facteur n'est pas exactement $u'$, ajuster : $\int 2e^{2x}dx=e^{2x}+C$ mais $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}e^{2x}+C$.
Les règles de dérivation s'appliquent normalement :
Pour $f(x)=P(x)e^x$ : $f'(x)=(P'(x)+P(x))e^x$. Le signe de $f'$ est celui de $P'+P$.
$f(x)=x^2 e^x$ : $f'(x)=(2x+x^2)e^x=x(x+2)e^x$. $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0$ ou $x=-2$.
$f(x)=x^2 e^x\Rightarrow f'(x)\neq 2xe^x$. Ne pas oublier le terme $x^2 e^x$ de la dérivée du second facteur.
Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a) $u=-x^2+3x$, $u'=-2x+3$. $f'(x)=(-2x+3)e^{-x^2+3x}$
b) Règle du produit : $g'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$
c) Règle du quotient : $h'(x)=\dfrac{e^x(e^x+1)-e^x(e^x-1)}{(e^x+1)^2}=\dfrac{2e^x}{(e^x+1)^2}$
d) $u=\sqrt{2x+1}$, $u'=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$. $k'(x)=\dfrac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}$
Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
a) $u=3x+1$, $u'=3$. $F(x)=e^{3x+1}+C$
b) $u=x^2-3x$, $u'=2x-3$. $G(x)=e^{x^2-3x}+C$
c) $u=2x+\cos x$, $u'=2-\sin x$. $H(x)=e^{2x+\cos x}+C$
Si $a\neq0$ : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{ax}=\begin{cases}+\infty&\text{si }a>0\\0&\text{si }a<0\end{cases}$
Pour $\lim \frac{e^{ax}-1}{bx}$ : factoriser pour obtenir $\frac{a}{b}\cdot\frac{e^{ax}-1}{ax}\to\frac{a}{b}$.
$\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{2x}=\frac{3}{2}\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{3x}=\frac{3}{2}\times1=\frac{3}{2}$.
$\lim_{x\to+\infty}e^x\neq+\infty$ pour des exposants négatifs ! $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$.
Retenir : « L'exponentielle l'emporte sur toute puissance. »
Pour $\lim P(x)e^x$ avec $x\to-\infty$ : mettre en facteur $e^x$ et appliquer la croissance comparée.
$\lim_{x\to+\infty}(x^3-e^x)=\lim_{x\to+\infty}e^x(\frac{x^3}{e^x}-1)=-\infty$ car $\frac{x^3}{e^x}\to0$.
La forme $\infty-\infty$ est indéterminée. Factoriser par $e^x$ avant de conclure.
Stratégies pour lever les formes indéterminées :
$\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{e^x}$ : diviser numérateur et dénominateur par $e^x$ (ou la plus haute puissance de $e^x$ présente).
$\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x+3}{2e^x-1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1+3e^{-x}}{2-e^{-x}}=\frac{1}{2}$.
$\lim_{x\to+\infty}e^x\cdot e^{-x}=\lim 1=1$, pas $+\infty\times0=0$. Toujours simplifier d'abord.
Calculer les limites suivantes :
a) $\lim_{x\to+\infty}(x^2-e^x)=\lim_{x\to+\infty}e^x\!\left(\frac{x^2}{e^x}-1\right)=-\infty$ (croissance comparée : $\frac{x^2}{e^x}\to0$).
b) $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ (poser $t=-x\to+\infty$ : $-te^{-t}=-\frac{t}{e^t}\to0$).
c) Diviser par $e^x$ : $\dfrac{1-e^{-x}}{1+3e^{-x}}\to\dfrac{1-0}{1+0}=\boxed{1}$.
d) $\dfrac{e^{3x}-1}{2x}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to\dfrac{3}{2}\times 1=\boxed{\dfrac{3}{2}}$.
Soit $f(x)=(x-1)e^{1/x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.
1. En $+\infty$ : $e^{1/x}\to e^0=1$, donc $f(x)\sim x-1\to+\infty$.
En $-\infty$ : idem, $f(x)\to-\infty$.
2. $f(x)-x=(x-1)e^{1/x}-x=xe^{1/x}-e^{1/x}-x=x(e^{1/x}-1)-e^{1/x}$.
Posant $t=1/x\to0$ : $x(e^{1/x}-1)=\frac{e^t-1}{t}\to1$, et $e^{1/x}\to1$.
Donc $f(x)-x\to1-1=0$, confirme l'asymptote $y=x$.
3. $x\to0^+$ : $1/x\to+\infty$, $e^{1/x}\to+\infty$, $f(x)\to+\infty$.
$x\to0^-$ : $1/x\to-\infty$, $e^{1/x}\to0$, $f(x)\to(-1)\times0=0$.
Points remarquables : $(0,1)$, $(1,e)$, $(-1,1/e)$. La courbe passe par $(0,1)$ et croît vers $+\infty$.
$e^x\geq x+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ (inégalité fondamentale, conséquence de la convexité).
La courbe de $\exp$ et de $\ln$ sont symétriques par rapport à $y=x$ (première bissectrice), pas par rapport à un axe.
Pour étudier les asymptotes d'une courbe $y=f(x)$ :
Asymptote oblique : calculer $m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ puis $p=\lim_{x\to\infty}[f(x)-mx]$.
$f(x)=(x-1)e^{1/x}$ : $f(x)\sim x$ donc $m=1$. $f(x)-x=(x-1)e^{1/x}-x\to0$. Asymptote $y=x$.
$y=L$ est asymptote si $\lim f(x)=L$ FINI. Si la limite est infinie, pas d'asymptote horizontale.
Plan d'étude standard :
Pour $f(x)=P(x)e^{g(x)}$ : $f'(x)=(P'(x)+P(x)g'(x))e^{g(x)}$. Signe de $f'$ = signe de $P'+Pg'$.
$f(x)=(x^2-2x)e^x$ : $f'(x)=(2x-2+x^2-2x)e^x=(x^2-2)e^x$. $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}$.
Ne pas oublier l'étude en $\pm\infty$ avant de dresser le tableau de variations.
Soit $f(x)=xe^x$ définie sur $\mathbb{R}$.
1. $\lim_{x\to+\infty}xe^x=+\infty$ (produit de deux quantités $\to+\infty$).
$\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ (croissance comparée : $|x|e^x\to0$).
2. $f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$. Comme $e^x>0$, le signe dépend de $(1+x)$ :
$f'(x)<0$ si $x<-1$, $f'(-1)=0$, $f'(x)>0$ si $x>-1$.
Minimum en $x=-1$ : $f(-1)=-e^{-1}=-\frac{1}{e}$.
3. $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$ donc $y=0$ est asymptote horizontale en $-\infty$. ✓
4. $f(0)=0$, $f'(0)=1$. Tangente : $y=x$.
Soit $f(x)=x+1-\ln(e^x+1)$ définie sur $\mathbb{R}$.
1. $\lim_{x\to-\infty}(e^x+1)=1$, donc $\lim_{x\to-\infty}\ln(e^x+1)=0$ et $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
$f(x)-(x+1)=-\ln(e^x+1)\to0$ en $-\infty$ : asymptote $y=x+1$. ✓
2. $\ln(e^x+1)=\ln(e^x(1+e^{-x}))=x+\ln(1+e^{-x})$. Donc $f(x)=1-\ln(1+e^{-x})$.
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=1-\ln(1+0)=1-0=\boxed{1}$ : asymptote $y=1$ en $+\infty$.
3. $f'(x)=1-\dfrac{e^x}{e^x+1}=\dfrac{1}{e^x+1}>0$ : $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
4. La courbe est croissante de $-\infty$ à $1$, avec l'asymptote $y=x+1$ en $-\infty$ et $y=1$ en $+\infty$. Point remarquable : $f(0)=1-\ln 2$.
Propriétés algébriques : $a^{x+y}=a^x\cdot a^y$, $a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}$, $(a^x)^r=a^{rx}$, $(ab)^x=a^x b^x$.
Résoudre $a^x=b$ : $x\ln a=\ln b\Rightarrow x=\dfrac{\ln b}{\ln a}=\log_a b$.
$2^x=8\Rightarrow x\ln2=\ln8=3\ln2\Rightarrow x=3$. $\quad 3^x=7\Rightarrow x=\dfrac{\ln7}{\ln3}=\log_3 7$.
$a^x\cdot a^x=a^{2x}$ (pas $a^{x^2}$). Et $2^x$ ne se simplifie pas en $x$ seul : $2^x=e^{x\ln2}$.
$(a^x)'=(\ln a)a^x$. Si $a=e$ : $\ln e=1$, on retrouve $(e^x)'=e^x$.
$(5^x)'=\ln5\cdot5^x$. $(3^{2x+1})'=2\ln3\cdot3^{2x+1}$. $(0{,}5^x)'=\ln(0{,}5)\cdot0{,}5^x=-\ln2\cdot0{,}5^x<0$.
$(2^x)'\neq x\cdot2^{x-1}$ (règle de la puissance pour les polynômes, pas pour les exponentielles).
Pour résoudre des équations ou inéquations :
$a^{2x}+p\cdot a^x+q=0$ : poser $X=a^x>0$, résoudre $X^2+pX+q=0$, garder $X>0$, puis $x=\log_a X$.
$3^{2x}-4\cdot3^x-4=0$ : $X=3^x$, $X^2-4X-4=0$, $X=2+2\sqrt{2}$ (positive). $x=\dfrac{\ln(2+2\sqrt{2})}{\ln3}$.
L'inégalité $a^x<a^y$ s'inverse si $0<a<1$ ! Toujours vérifier si $a>1$ ou $0<a<1$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ :
a) $7^x=15\Rightarrow x=\log_7(15)=\dfrac{\ln 15}{\ln 7}$. $S=\left\{\dfrac{\ln 15}{\ln 7}\right\}$
b) $7^{2x}\cdot5^{1-x}=5^3\Rightarrow 2x\ln7+(1-x)\ln5=3\ln5\Rightarrow x(2\ln7-\ln5)=2\ln5$. $x=\dfrac{2\ln5}{2\ln7-\ln5}=\dfrac{\ln25}{\ln49-\ln5}=\dfrac{\ln25}{\ln(49/5)}$.
c) Poser $X=10^x>0$ : $X^2+3X-13=0$. $\Delta=9+52=61$. $X=\dfrac{-3+\sqrt{61}}{2}$ (valeur positive). $x=\log_{10}\!\left(\dfrac{-3+\sqrt{61}}{2}\right)$.
d) Poser $X=3^x>0$ : $X^2-4X-4=0$. $\Delta=16+16=32$. $X=2+2\sqrt{2}$ (positive). $x=\log_3(2+2\sqrt{2})=\dfrac{\ln(2+2\sqrt{2})}{\ln3}$.
Soit $f(x)=4^x-2^{x+1}$ définie sur $\mathbb{R}$.
On note $f(x)=(2^x)^2-2\cdot2^x$. Posons $t=2^x>0$.
a) $\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=0-0=0$ (branche parabolique vers $y=0$).
b) $f'(x)=(\ln4)\cdot4^x-2(\ln2)\cdot2^x=2(\ln2)\cdot4^x-2(\ln2)\cdot2^x=2\ln2\cdot2^x(2^x-1)$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow2^x=1\Leftrightarrow x=0$. Minimum en $x=0$ : $f(0)=1-2=-1$.
c) $f(x)=0\Leftrightarrow(2^x)^2-2\cdot2^x=0\Leftrightarrow2^x(2^x-2)=0\Leftrightarrow2^x=2\Leftrightarrow x=1$. ($2^x>0$ toujours.)
d) $f(0)=-1$, $f'(0)=0$. Tangente : $y=-1$.
$e^x=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. On peut factoriser par $e^x$ sans risque d'annulation.
La règle $x^n\to nx^{n-1}$ est pour les polynômes. Pour $e^{u}$ : dérivée = $u'\cdot e^u$.
En posant $X=e^x$, on a $X>0$ toujours. Rejeter tout $X\leq0$ avant de calculer $x=\ln X$.
En $-\infty$ : $x^n e^x\to0$ (l'exponentielle l'emporte). En $+\infty$ : $x^n e^{-x}\to0$.
Si $0<a<1$, $a^x$ est décroissante : $a^f<a^g\iff f>g$. L'inégalité s'inverse !
$\ln(e^x)=x$ toujours. Mais $e^{\ln x}=x$ seulement si $x>0$. Ne pas appliquer hors du domaine.
C'est $e^x\cdot e^y$. L'addition d'exposants correspond à la multiplication des valeurs.
En $+\infty$ : $e^{1/x}\to1$, donc $f(x)e^{1/x}\sim f(x)$. Vérifier avec $f(x)-ax-b\to0$.