Dans $\mathbb{R}$, l'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution. On construit $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$ dans lequel cette équation admet deux solutions.
On a $\mathbb{R}\subsetneq\mathbb{C}$. $i$ est l'unité imaginaire.
Résoudre $x^2=-a^2$ ($a>0$) dans $\mathbb{C}$ : $x^2=(ai)^2 \Rightarrow x=\pm ai$.
$x^2+9=0\Rightarrow x^2=(3i)^2\Rightarrow x=\pm 3i$. Vérification : $(3i)^2=9i^2=-9$ ✓
Ne pas écrire $\sqrt{-9}=3\sqrt{-1}$ : les solutions de $x^2=-9$ sont $\pm 3i$.
Si $b=0$ : $z\in\mathbb{R}$. Si $a=0, b\neq0$ : $z$ est imaginaire pur.
Mettre sous la forme $a+ib$ : $a=\text{Re}(z)$, $b$ = coefficient de $i$ (avec signe).
$z=3-2i$: $\text{Re}(z)=3$, $\text{Im}(z)=-2$. $\quad z=-5i$: $\text{Re}=0$, $\text{Im}=-5$.
Im est un réel, pas un imaginaire ! $\text{Im}(3-2i)=-2\neq-2i$.
Poser $z=x+iy$, substituer, puis identifier Re et Im séparément.
$(2x-1)+i(y+3)=5-4i\Rightarrow 2x-1=5, y+3=-4\Rightarrow x=3, y=-7$.
Ne pas écrire une seule équation : il en faut toujours deux.
On pose $z_1 = 3+2i$, $z_2 = -1+3i$ et $z_3 = 1-i$. Écrire sous forme algébrique :
a) $z_1+z_2+z_3=(3-1+1)+(2+3-1)i = \boxed{3+4i}$
b) $z_1-3z_2=(3+2i)-3(-1+3i)=3+3+(2-9)i = \boxed{6-7i}$
c) $z_1 z_2=(3+2i)(-1+3i)=-3+9i-2i+6i^2=-3+7i-6 = \boxed{-9+7i}$
d) $z_1^2=(3+2i)^2=9+12i-4=5+12i$, donc $-iz_1^2=-i(5+12i)=-5i+12 = \boxed{12-5i}$
e) $z_2^2=(-1+3i)^2=1-6i-9=-8-6i$
$z_2^3=z_2^2\cdot z_2=(-8-6i)(-1+3i)=8-24i+6i-18i^2=8+18-18i = \boxed{26-18i}$
f) $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(3+2i)(-1-3i)}{(-1)^2+3^2}=\dfrac{-3-9i-2i+6}{10}=\dfrac{3-11i}{10} = \boxed{\dfrac{3}{10}-\dfrac{11}{10}i}$
$\dfrac{z_3}{z_1}=\dfrac{(1-i)(3-2i)}{3^2+2^2}=\dfrac{3-2i-3i-2}{13}=\dfrac{1-5i}{13} = \boxed{\dfrac{1}{13}-\dfrac{5}{13}i}$
On pose $a=8i$, $b=4\sqrt{3}-4i$, $c=8(\sqrt{3}+i)$, $d=4\sqrt{3}+2i$.
1. $d-b=(4\sqrt{3}+2i)-(4\sqrt{3}-4i)=6i$
$a-c=8i-8(\sqrt{3}+i)=-8\sqrt{3}$
$r=\dfrac{6i}{-8\sqrt{3}}=\dfrac{-3i}{4\sqrt{3}}$ — imaginaire pur ($\text{Re}(r)=0$) ✓
2. $b-c=(4\sqrt{3}-4i)-8(\sqrt{3}+i)=-4\sqrt{3}-12i=-4(\sqrt{3}+3i)$
$\dfrac{b}{b-c}=\dfrac{4\sqrt{3}-4i}{-4(\sqrt{3}+3i)}=\dfrac{-({\sqrt{3}-i})(\sqrt{3}-3i)}{(\sqrt{3})^2+3^2}=\dfrac{-(3-3\sqrt{3}i-\sqrt{3}i-3)}{12}=\dfrac{4\sqrt{3}i}{12}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ — imaginaire pur ✓
On pose $z=x+iy$ avec $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. On définit $f(z)=z^2-z$ et $g(z)=\dfrac{z+i}{z-1}$ (avec $z\neq 1$).
1. $f(z)=(x+iy)^2-(x+iy)=x^2+2ixy-y^2-x-iy$ $$f(z)=\underbrace{(x^2-y^2-x)}_{\text{Re}(f)}+\underbrace{(2xy-y)}_{\text{Im}(f)}i$$
2. $f(z)\in\mathbb{R}\iff\text{Im}(f)=0\iff y(2x-1)=0\iff \boxed{y=0 \text{ ou } x=\frac{1}{2}}$ ✓
3. $g(z)=\dfrac{(x+(y+1)i)}{((x-1)+iy)}\cdot\dfrac{(x-1)-iy}{(x-1)-iy}$
Numérateur imaginaire : $-(xy)+(y+1)(x-1)=xy-y-x+1-xy=1-x-y$
$g(z)\in\mathbb{R}\iff 1-x-y=0\iff \boxed{y=1-x}$ (avec $(x,y)\neq(1,0)$) ✓
$\mathbb{C}$ est un corps commutatif. La multiplication se développe en remplaçant $i^2=-1$.
Développer $(a+ib)(c+id)$, regrouper les $i^2$, remplacer $i^2=-1$.
$(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i$.
$i^2=-1$ (pas $+1$). $(1+i)^2=1+2i-1=2i\neq0$.
Diviser l'exposant par 4 : $n=4q+r$. Résultat = $i^r$.
$i^{27}=i^3=-i$ (car $27=4\times6+3$). $i^{102}=i^2=-1$ (car $102=4\times25+2$).
Toujours effectuer la division euclidienne par 4 pour trouver le reste.
Appliquer la formule, développer, remplacer $i^2=-1$, simplifier.
$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$. $(1+i)(1-i)=1-i^2=2$.
$(a+ib)^2=(a^2-b^2)+2abi\neq a^2+b^2$.
Technique : multiplier numérateur et dénominateur par $\bar{z_2}$ (conjugué du dénominateur).
Multiplier par $\overline{\text{dénominateur}}$, calculer $(c+id)(c-id)=c^2+d^2$, simplifier.
$\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}=\dfrac{-4+7i}{5}=-\dfrac{4}{5}+\dfrac{7}{5}i$.
Ne jamais simplifier terme à terme : $\dfrac{a+ib}{c+id}\neq\dfrac{a}{c}+i\dfrac{b}{d}$.
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
a) $iz=1-2i\Rightarrow z=\dfrac{1-2i}{i}=\dfrac{(1-2i)(-i)}{1}=-i-2=-2-i$. $\quad S=\{-2-i\}$
b) $(1-3i)z=-1-2i\Rightarrow z=\dfrac{-1-2i}{1-3i}=\dfrac{(-1-2i)(1+3i)}{10}=\dfrac{-1-3i-2i+6}{10}=\dfrac{5-5i}{10}$. $\quad S=\!\left\{\dfrac{1-i}{2}\right\}$
c) $z^2=-1\Rightarrow z=\pm i$. $\quad S=\{-i\,;\,i\}$
d) $z^2=-4=(2i)^2\Rightarrow z=\pm 2i$. $\quad S=\{-2i\,;\,2i\}$
e) $(z+2i)^2=(2i)^2\Rightarrow z+2i=\pm 2i$. $\quad S=\{-4i\,;\,0\}$
f) $A=B\Rightarrow A-B=0$ ou $A+B=0$.
Cas 1 : $2z+1-i=iz+2+i\Rightarrow(2-i)z=1+2i\Rightarrow z=\dfrac{(1+2i)(2+i)}{5}=\dfrac{5i}{5}=i$
Cas 2 : $2z+1-i=-(iz+2+i)\Rightarrow(2+i)z=-3\Rightarrow z=\dfrac{-3(2-i)}{5}=\dfrac{-6+3i}{5}$
$S=\left\{i\,;\,\dfrac{-6+3i}{5}\right\}$
Axe des réels (abscisses) / axe des imaginaires purs (ordonnées). Bijection $\mathbb{C}\leftrightarrow$ plan.
Point $M(a,b)$: $z_M=a+ib$. Vecteur $\overrightarrow{AB}$: $z_B-z_A$ (arrivée − départ).
$A(1,2),B(3,-1)$: $z_A=1+2i$, $z_B=3-i$. Affixe $\overrightarrow{AB}=2-3i$.
Affixe de $\overrightarrow{AB}=z_B-z_A$ (pas $z_A-z_B$).
$z'=z+a$ → translation. $z'=kz$ ($k\in\mathbb{R}$) → homothétie. $z'=iz$ → rotation $\pi/2$.
Milieu $A(1+i),B(3+2i)$: $z_I=\frac{4+3i}{2}=2+\frac{3}{2}i$.
Multiplication par $i$ ≠ homothétie ($|iz|=|z|$, module conservé).
Écrire $\sum\lambda_k z_{A_k}$, diviser par $\sum\lambda_k$, simplifier.
$G$ de $A(1+i),B(-1+2i),C(2-3i)$: $z_G=\frac{2+0i}{3}=\frac{2}{3}$.
Barycentre de $A$ (coeff. 1) et $B$ (coeff. 2) : diviser par $1+2=3$, pas par 2.
Calculer $q=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$, mettre sous forme algébrique. $\text{Im}(q)=0$ → alignés.
$A(1+i),B(2+3i),C(3+5i)$: $\frac{2+4i}{1+2i}=\frac{(2+4i)(1-2i)}{5}=2\in\mathbb{R}$ → alignés ✓
Parallèle ↔ réel. Perpendiculaire ↔ imaginaire pur. Ne pas les confondre !
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\vec{u};\vec{v})$. On donne les points d'affixes :
$z_A=1+3i$, $z_B=-2-i$, $z_C=i$, $z_D=-3$, $z_E=-2i$, $z_F=\sqrt{3}i-4$
1. $A(1;3)$, $B(-2;-1)$, $C(0;1)$, $D(-3;0)$, $E(0;-2)$, $F(-4;\sqrt{3})$
2. Milieu $K$ de $[AB]$ : $z_K=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{(1+3i)+(-2-i)}{2}=\dfrac{-1+2i}{2}=-\dfrac{1}{2}+i$
Milieu $L$ de $[CF]$ : $z_L=\dfrac{z_C+z_F}{2}=\dfrac{i+(\sqrt{3}i-4)}{2}=\dfrac{-4+(\sqrt{3}+1)i}{2}=-2+\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}i$
3. $z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=(-2-i)-(1+3i)=-3-4i$
$z_{\overrightarrow{IF}}=z_F-z_I=(\sqrt{3}i-4)-(-4)=\sqrt{3}i$
On donne $A(3+i)$, $B(-2+3i)$, $C(-3+5i)$, $D(2-3i)$.
1. $z_B-z_A=(-2+3i)-(3+i)=-5+2i$
$z_C-z_D=(-3+5i)-(2-3i)=-5+8i$ — hmm, pour vérifier le parallélisme on cherche si les vecteurs directeurs sont colinéaires :
$z_C-z_D=-5+8i$ et $z_B-z_A=-5+2i$ : le rapport $\dfrac{-5+8i}{-5+2i}=\dfrac{(-5+8i)(-5-2i)}{29}=\dfrac{25+10i-40i+16}{29}=\dfrac{41-30i}{29}\notin\mathbb{R}$.
Recalculons avec $D(2-3i)$ en cherchant $\overrightarrow{DC}$ : $z_C-z_D=(-3+5i)-(2-3i)=-5+8i$. $\overrightarrow{AB}=-5+2i$. Ces vecteurs ne sont pas colinéaires — la nature exacte dépend des données du PDF original.
Méthode de vérification : $(AB)\parallel(DC)\iff\dfrac{z_C-z_D}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}$.
2. $AB=|z_B-z_A|=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}$, $BC=|z_C-z_B|=|-1+2i|=\sqrt{5}$, $AC=|z_C-z_A|=|-6+4i|=\sqrt{52}$
$AB^2+BC^2=29+5=34$... vérifier $AC^2=52$ → $34\neq52$ — données à vérifier sur le PDF.
3. En utilisant les calculs corrects : si $AB\perp BC$ (rapport imaginaire pur) et $AB\parallel DC$, alors $ABCD$ est un rectangle.
Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ dans chacun des cas :
a) $|z-(-1+2i)|=3$ → Cercle de centre $A(-1;2)$ et rayon $r=3$.
b) $|z-(2+i)|=1$ → Cercle de centre $B(2;1)$ et rayon $r=1$.
c) $|i||z-(1+i)/i|=2$ mais $|i|=1$. On développe : $iz-1+i=i(z+1)-1$, donc $|i(z+1)-1|=2$. Posant $w=z+1$: $|iw-1|=2$. Or $|iw-1|=|i||w+i|=|w+i|$, donc $|z+1+i|=2$ → Cercle de centre $C(-1;-1)$ et rayon $r=2$.
d) $|z-(-2+3i)|=|z-(-i)|$ → Médiatrice du segment $[PQ]$ avec $P(-2+3i)$ et $Q(-i)$.
Équation : $2(x+2)-2(y+3)+y+1=0$... → $4x-4y+12=0$ → $\boxed{x-y+3=0}$
e) $|z|=3$ → Cercle de centre $O(0;0)$ et rayon $r=3$.
Le plan est muni d'un repère orthonormé. Points $A(2+i)$, $B(-1+i)$, $C(-1-2i)$.
1. $z_B-z_A=(-1+i)-(2+i)=-3$ → $\overrightarrow{AB}$ parallèle à l'axe réel.
$z_C-z_B=(-1-2i)-(-1+i)=-3i$ → $\overrightarrow{BC}$ parallèle à l'axe imaginaire.
Ces deux directions sont perpendiculaires → rectangle en $B$. ✓
$AB=|z_B-z_A|=|-3|=3$ et $BC=|z_C-z_B|=|-3i|=3$ → $AB=BC$ → isocèle en $B$. ✓
Triangle rectangle isocèle en B.
2. Le cercle circonscrit a pour diamètre $[AC]$ (angle droit en $B$).
Centre = milieu de $[AC]$ : $z_0=\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{(2+i)+(-1-2i)}{2}=\dfrac{1-i}{2}$
Rayon : $R=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{|z_C-z_A|}{2}=\dfrac{|-3-3i|}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
$z\in\mathbb{R}\iff z=\bar{z}$. $z$ imaginaire pur $\iff z=-\bar{z}$. $\text{Re}(z)=\dfrac{z+\bar{z}}{2}$, $\text{Im}(z)=\dfrac{z-\bar{z}}{2i}$.
Mettre sous forme $a+ib$, changer le signe de $b$ : $\bar{z}=a-ib$.
$\overline{3-2i}=3+2i$. $\overline{5i}=-5i$. $\overline{-7}=-7$.
Conjuguer toute l'expression : $\overline{iz}=\bar{i}\bar{z}=-i\bar{z}$.
Si $P$ est un polynôme à coefficients réels et $P(z_0)=0$, alors $P(\bar{z}_0)=0$.
Poser $z=a+ib$, $\bar{z}=a-ib$, substituer, identifier Re et Im.
$z+\bar{z}=6$ et $z\bar{z}=10$: $2a=6\Rightarrow a=3$, $9+b^2=10\Rightarrow b=\pm1$. $z=3\pm i$.
$\overline{z+3}=\bar{z}+3$ (constante réelle = son propre conjugué).
Écrire le conjugué de chacun des nombres :
$z_1=-5+7i$, $z_2=i$, $z_3=2-\sqrt{3}$, $z_4=(1-5i)-3(2i-1)$
Exprimer en fonction de $z$ et $\bar{z}$ le conjugué de :
$Z_1=iz+1$, $Z_2=z^2+iz-5$, $Z_3=(3z-1)(z+i)$, $Z_4=\dfrac{z-1}{z+i}$
$\overline{z_1}=-5-7i$ ; $\overline{z_2}=-i$ ; $\overline{z_3}=2-\sqrt{3}$ (réel) ;
$z_4=1-5i-6i+3=4-11i$ donc $\overline{z_4}=4+11i$
$\overline{Z_1}=\overline{iz}+1=\bar{i}\bar{z}+1=-i\bar{z}+1$
$\overline{Z_2}=\bar{z}^2-i\bar{z}-5$
$\overline{Z_3}=(3\bar{z}-1)(\bar{z}-i)$
$\overline{Z_4}=\dfrac{\bar{z}-1}{\bar{z}-i}$
Pour $z\in\mathbb{C}$, montrer que :
On pose $X=(2-\sqrt{5}i)^n+(2+\sqrt{5}i)^n$ et $Y=(2-\sqrt{5}i)^n-(2+\sqrt{5}i)^n$. Quelle est la nature de $X$ ? de $Y$ ?
a) $\bar{A}=\overline{z^2-\bar{z}^2}=\bar{z}^2-z^2=-(z^2-\bar{z}^2)=-A$ → $A$ est imaginaire pur. ✓
Calcul direct : $A=(z-\bar{z})(z+\bar{z})=2i\,\text{Im}(z)\cdot2\,\text{Re}(z)=4i\,\text{Re}(z)\text{Im}(z)\in i\mathbb{R}$ ✓
b) $\bar{B}=\overline{z^n+\bar{z}^n}=\bar{z}^n+z^n=B$ → $B$ est réel. ✓
X : Si $z=2-\sqrt{5}i$, alors $\bar{z}=2+\sqrt{5}i$. Donc $X=z^n+\bar{z}^n=B\in\mathbb{R}$ d'après b). X est réel.
Y : $Y=z^n-\bar{z}^n=-(\ \bar{z}^n-z^n)=-\overline{(z^n-\bar{z}^n)}=-\bar{Y}$ → $Y$ est imaginaire pur. ✓
Résoudre dans $\mathbb{C}$ :
a) $z=\dfrac{3-i}{i}=\dfrac{(3-i)(-i)}{1}=-3i-1 \Rightarrow \boxed{z=-1-3i}$
b) $z=\dfrac{-i}{3-2i}=\dfrac{-i(3+2i)}{13}=\dfrac{2-3i}{13} \Rightarrow \boxed{z=\dfrac{2}{13}-\dfrac{3}{13}i}$
c) Posons $z=x+iy$. $\bar{z}-2z=(x-iy)-2(x+iy)=-x-3iy=2i$
Identification : $-x=0$ et $-3y=2$ → $x=0$, $y=-\dfrac{2}{3}$. $\boxed{z=-\dfrac{2}{3}i}$
d) $z=x+iy$, $\bar{z}=x-iy$. $2(x+iy)-i(x-iy)=(2x+y)+i(2y-x)=5-4i$
Système : $\begin{cases}2x+y=5\\2y-x=-4\end{cases}$ → $x=\dfrac{14}{5}$, $y=\dfrac{-3}{5}$. $\boxed{z=\dfrac{14}{5}-\dfrac{3}{5}i}$
$z=a+ib$: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ (chercher carré parfait). Distance: $|z_B-z_A|$.
$|3-4i|=\sqrt{9+16}=5$. Distance $AB$: $|(4+5i)-(1+i)|=|3+4i|=5$.
$|a+ib|\neq|a|+|b|$. $|3+4i|=5\neq7$.
Décomposer $P(z)$ en termes, appliquer $|\cdot|$ sur chaque terme, majorer avec $|z|\leq M$.
$|z|\leq1$: $|z^2+2z+3|\leq1+2+3=6$.
L'inégalité triangulaire donne une majoration, pas la valeur exacte.
Calculer le module de chacun des complexes :
$z_1=3+2i$, $z_2=-1+i$, $z_3=i$, $z_4=-\sqrt{3}i$, $z_5=(1-i)(-3-2i)$, $z_6=\cos\dfrac{\pi}{5}+i\sin\dfrac{\pi}{5}$, $z_7=r(\cos x+i\sin x)$ avec $r>0$.
$|z_1|=\sqrt{9+4}=\boxed{\sqrt{13}}$
$|z_2|=\sqrt{1+1}=\boxed{\sqrt{2}}$
$|z_3|=1$
$|z_4|=\sqrt{3}$
$|z_5|=|1-i|\cdot|-3-2i|=\sqrt{2}\cdot\sqrt{13}=\boxed{\sqrt{26}}$
$|z_6|=\sqrt{\cos^2\frac{\pi}{5}+\sin^2\frac{\pi}{5}}=\boxed{1}$ (forme trigonométrique de module 1)
$|z_7|=|r|\cdot\sqrt{\cos^2x+\sin^2x}=\boxed{r}$
Soit $z\in\mathbb{C}$ avec $z\neq i$. Montrer que $\left|\dfrac{z+i}{z-i}\right|=1 \iff z\in\mathbb{R}$.
$\left|\dfrac{z+i}{z-i}\right|=1\iff|z+i|=|z-i|\iff|z+i|^2=|z-i|^2$
$\iff(z+i)\overline{(z+i)}=(z-i)\overline{(z-i)}$
$\iff(z+i)(\bar{z}-i)=(z-i)(\bar{z}+i)$
$\iff z\bar{z}-iz+i\bar{z}+1=z\bar{z}+iz-i\bar{z}+1$
$\iff -2iz+2i\bar{z}=0\iff 2i(\bar{z}-z)=0\iff \bar{z}=z\iff \boxed{z\in\mathbb{R}}$ ✓
Calculer $r=|z|$. Poser $\cos\theta=a/r$, $\sin\theta=b/r$. Trouver $\theta\in]-\pi,\pi]$ vérifiant les deux.
$z=1+i$: $r=\sqrt{2}$, $\cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → $\theta=\frac{\pi}{4}$.
$\arg(z)\neq\arctan(b/a)$ en général (ambiguïté de quadrant). Toujours vérifier $\cos\theta$ ET $\sin\theta$.
Écrire $z=re^{i\theta}$, puis $z^n=r^ne^{in\theta}$. Lire module et argument.
$(1+i)^{10}$: $1+i=\sqrt{2}e^{i\pi/4}$, $(1+i)^{10}=32e^{i5\pi/2}=32i$.
De Moivre s'applique à $(\cos\theta+i\sin\theta)^n$, pas à $(a+ib)^n$ directement.
Calculer $q=\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$. Module 1 et argument $\pi/2$ → rectangle isocèle. Argument $\pi/3$ → équilatéral.
$A(0),B(1),C(1+i),D(i)$: $\frac{z_C-z_B}{z_B-z_A}=i$ (rotation $\pi/2$) et $|i|=1$ → carré ✓
Angle orienté $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\neq(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})$ : ils diffèrent de $\pi$.
Écrire sous forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ :
$z_1=1+i$, $z_2=1+\sqrt{3}i$, $z_3=-2+2i$, $z_4=\sqrt{3}-i$, $z_5=-2-2i$
$z_1=1+i$: $r=\sqrt{2}$, $\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → $\theta=\frac{\pi}{4}$. $\quad z_1=\sqrt{2}\!\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right)$
$z_2=1+\sqrt{3}i$: $r=2$, $\cos\theta=\frac{1}{2}$, $\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ → $\theta=\frac{\pi}{3}$. $\quad z_2=2\!\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$
$z_3=-2+2i$: $r=2\sqrt{2}$, $\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → $\theta=\frac{3\pi}{4}$. $\quad z_3=2\sqrt{2}\!\left(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\right)$
$z_4=\sqrt{3}-i$: $r=2$, $\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta=-\frac{1}{2}$ → $\theta=-\frac{\pi}{6}$. $\quad z_4=2\!\left(\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)$
$z_5=-2-2i$: $r=2\sqrt{2}$, $\theta=-\frac{3\pi}{4}$. $\quad z_5=2\sqrt{2}\!\left(\cos\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(-\frac{3\pi}{4}\right)\right)$
Soit $z_1=1+i$ et $z_2=1-\sqrt{3}i$.
1. $z_1=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$, $z_2=2\,e^{-i\pi/3}$
2.
$p=z_1z_2$: $|p|=\sqrt{2}\cdot2=2\sqrt{2}$, $\arg(p)=\frac{\pi}{4}+\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\pi}{12}$
$q=z_1/z_2$: $|q|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\arg(q)=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{7\pi}{12}$
$r=z_1/z_2^2$: $|r|=\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\arg(r)=\frac{\pi}{4}-2\times\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{3}=\frac{11\pi}{12}$
3. $z_2^{2016}=2^{2016}e^{-i\cdot2016\pi/3}$. Or $\frac{2016}{3}=672\in\mathbb{Z}$ donc $e^{-i672\pi}=1$. $\Rightarrow z_2^{2016}=2^{2016}\in\mathbb{R}^+$ ✓
4. $z_2^2=(1-\sqrt{3}i)^2=1-2\sqrt{3}i-3=-2-2\sqrt{3}i$
$r=\frac{1+i}{-2-2\sqrt{3}i}=\frac{(1+i)(-2+2\sqrt{3}i)}{4+12}=\frac{-2+2\sqrt{3}i-2i+2\sqrt{3}i^2}{16}=\frac{(-2-2\sqrt{3})+2(\sqrt{3}-1)i}{16}$
$r=\frac{-(1+\sqrt{3})}{8}+\frac{(\sqrt{3}-1)}{8}i$
Mais $r=\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\cos\frac{11\pi}{12}+i\sin\frac{11\pi}{12}\right)$, donc :
$$\cos\frac{11\pi}{12}=\frac{-(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{2}}=\frac{-(1+\sqrt{3})\sqrt{2}}{4} \qquad \sin\frac{11\pi}{12}=\frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{4}$$Le plan est muni d'un repère orthonormé direct. Points $A(1+3i)$, $B(7-i)$, $C(5+9i)$.
1. $z_C-z_A=(5+9i)-(1+3i)=4+6i$
$z_B-z_A=(7-i)-(1+3i)=6-4i$
$\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{4+6i}{6-4i}=\dfrac{(4+6i)(6+4i)}{52}=\dfrac{24+16i+36i-24}{52}=\dfrac{52i}{52}=i$ — imaginaire pur ✓
2. $\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=i\Rightarrow \arg(i)=\dfrac{\pi}{2}$
$\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\arg\!\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\boxed{\dfrac{\pi}{2}\ [2\pi]}$
3. $\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=|i|=1\Rightarrow AC=AB$, et l'angle en $A$ vaut $\dfrac{\pi}{2}$.
$\Rightarrow$ Triangle $ABC$ isocèle rectangle en A.
Pour $z=3-2i$, $\text{Im}(z)=-2$ (réel) et non $-2i$.
$(a+ib)^2=(a^2-b^2)+2abi$. Exemple : $(3+4i)^2=-7+24i$.
Vérifier $\cos\theta$ ET $\sin\theta$ pour le bon quadrant. $\arg(-1-i)=-3\pi/4$ et non $\pi/4$.
$\frac{a+ib}{c+id}\neq\frac{a}{c}+i\frac{b}{d}$. Multiplier par le conjugué du dénominateur.
Parallèle $\iff$ quotient réel. Perpendiculaire $\iff$ quotient imaginaire pur.
Affixe$(\overrightarrow{AB})=z_B-z_A$ (arrivée moins départ).
$(a+ib)^n$ : écrire $a+ib=re^{i\theta}$ puis $(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}$.
$|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$. L'égalité requiert $\arg(z_1)=\arg(z_2)$.