On note souvent : $\displaystyle\int f(x)\,dx = F(x)+C$, appelé intégrale indéfinie.
Trouver la primitive satisfaisant $F(a)=k$ :
$f(x)=3x^2$. Une primitive est $F(x)=x^3$. La primitive vérifiant $F(1)=5$ : $F(x)=x^3+C$, $F(1)=1+C=5$ donc $C=4$, $F(x)=x^3+4$.
$f(x)=\cos x$, primitive $F(x)=\sin x+C$.
Oublier la constante $C$ est la faute la plus fréquente. Une primitive s'écrit toujours $F(x)+C$ (sauf si on cherche une primitive particulière ou si une condition est imposée). Ne jamais écrire $\int f(x)\,dx=F(x)$ sans le $+C$.
| $f(x)$ | Primitive $F(x)$ (sur l'intervalle indiqué) |
|---|---|
| $x^n$ ($n\in\mathbb{Z}$, $n\neq-1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ |
| $\dfrac{1}{x}$ ($x>0$) | $\ln x$ |
| $\dfrac{1}{x}$ ($x\neq0$) | $\ln|x|$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $e^{ax}$ ($a\neq0$) | $\dfrac{e^{ax}}{a}$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x$ | $\tan x$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ ($u>0$) | $\ln u$ |
| $u'\cdot u^n$ ($n\neq-1$) | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ |
| $u'\cdot e^u$ | $e^u$ |
| $u'\cdot\cos u$ | $\sin u$ |
| $u'\cdot\sin u$ | $-\cos u$ |
Stratégie pour trouver une primitive :
$\displaystyle\int(2x+1)e^{x^2+x}\,dx$ : $u=x^2+x$, $u'=2x+1$. Forme $u'e^u$ → primitive $e^{x^2+x}+C$.
$\displaystyle\int\dfrac{3x^2}{x^3+1}\,dx$ : $u=x^3+1$, $u'=3x^2$. Forme $\dfrac{u'}{u}$ → primitive $\ln|x^3+1|+C$.
La primitive de $e^{ax}$ est $\dfrac{e^{ax}}{a}$ (ne pas oublier de diviser par $a$). De même, la primitive de $\cos(ax)$ est $\dfrac{\sin(ax)}{a}$. Confondre avec la dérivée ($a\cdot e^{ax}$) donne un résultat faux du simple au double (ou plus).
Déterminer une primitive $F$ de chacune des fonctions suivantes sur l'intervalle indiqué :
a) $F(x)=\dfrac{3x^5}{5}-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{5x^2}{2}-x+C$
b) $\dfrac{2}{x^3}=2x^{-3}$ a pour primitive $\dfrac{2x^{-2}}{-2}=-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^2}$. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$ a pour primitive $\dfrac{x^{1/2}}{1/2}=2\sqrt{x}$.
Donc $F(x)=-\dfrac{1}{x^2}+2\sqrt{x}+C$
c) $F(x)=4e^x-3\sin x-2\cos x+C$
d) $F(x)=3\ln x+\dfrac{2}{x}+C$
En reconnaissant la forme $u'\cdot g(u)$, trouver une primitive de :
a) On reconnaît $u=x^2+x+3$, $u'=2x+1$. Forme $u'\cdot u^4$, primitive $\dfrac{u^5}{5}=\dfrac{(x^2+x+3)^5}{5}+C$.
b) $u=x^2+x-1$, $u'=2x+1$. Forme $\dfrac{u'}{u}$, primitive $\ln|u|=\ln|x^2+x-1|+C$.
c) $u=\sin x$, $u'=\cos x$. Forme $u'\cdot e^u$, primitive $e^{\sin x}+C$.
d) $u=\ln x$, $u'=\dfrac{1}{x}$. Forme $u'\cdot u$, primitive $\dfrac{(\ln x)^2}{2}+C$.
e) $u=x^2$, $u'=2x$, donc $x\,e^{x^2}=\dfrac{1}{2}\cdot 2x\,e^{x^2}=\dfrac{u'}{2}e^u$. Primitive : $\dfrac{e^{x^2}}{2}+C$.
Calcul pratique (par le TFA, voir C10) : si $F$ est une primitive de $f$, alors $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) = \left[F(x)\right]_a^b$$
Calcul d'une intégrale définie :
$\displaystyle\int_0^2(3x^2-2x)\,dx=\left[x^3-x^2\right]_0^2=(8-4)-(0-0)=\boxed{4}$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_0^{\pi/2}=(-\cos\tfrac{\pi}{2})-(-\cos 0)=0+1=\boxed{1}$
L'intégrale n'est pas toujours une aire ! Si $f$ change de signe sur $[a,b]$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ peut être nul ou négatif alors que l'aire géométrique est positive. Pour calculer une aire, il faut traiter séparément les parties positive et négative de $f$.
Utiliser Chasles pour découper quand $f$ change de signe :
Si $f$ s'annule en $c\in]a,b[$, écrire $\displaystyle\int_a^b f\,dx=\int_a^c f\,dx+\int_c^b f\,dx$ et calculer chaque partie séparément.
Pour l'aire géométrique : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^c|f|\,dx+\int_c^b|f|\,dx=\left|\int_a^c f\,dx\right|+\left|\int_c^b f\,dx\right|$
$\displaystyle\int_0^2|x-1|\,dx=\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$
Encadrement : $1\leq e^x\leq e$ sur $[0,1]$ → $1\leq\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx\leq e$, i.e. $1\leq e-1\leq e$ ✓.
Chasles mal appliqué : $\displaystyle\int_a^b f\,dx\neq\int_a^c f\,dx-\int_b^c f\,dx$ (erreur de signe). La bonne formule est $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$. Attention au sens d'intégration : $\int_b^a=-\int_a^b$.
Calculer les intégrales suivantes :
a) $\left[x^2-x\right]_1^3=(9-3)-(1-1)=6$
b) $\left[\sin x\right]_0^{\pi/2}=\sin(\pi/2)-\sin(0)=1-0=\boxed{1}$
c) $\left[\ln x\right]_1^e=\ln e-\ln 1=1-0=\boxed{1}$
d) Primitive de $e^{2x}$ : $\dfrac{e^{2x}}{2}$. Résultat : $\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}{2}$.
Soit $f(x)=|x-1|$.
1. Sur $[0,1]$ : $f(x)=1-x$. Sur $[1,3]$ : $f(x)=x-1$.
2. $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^3(x-1)\,dx$
$=\left[x-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1+\left[\dfrac{x^2}{2}-x\right]_1^3=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{9}{2}-3-\dfrac{1}{2}+1\right)=\dfrac{1}{2}+2=\boxed{\dfrac{5}{2}}$
3. $\displaystyle\int_0^2(x^2-x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=\dfrac{8}{3}-2=\dfrac{2}{3}$.
Le résultat est positif mais cela ne correspond pas directement à une aire car $g$ change de signe.
4. $\displaystyle\int_0^2|g(x)|\,dx=-\int_0^1 g(x)\,dx+\int_1^2 g(x)\,dx$
$\int_0^1(x^2-x)\,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}$
$\int_1^2(x^2-x)\,dx=\dfrac{8}{3}-2-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{14-9}{6}=\dfrac{5}{6}$
Donc $\displaystyle\int_0^2|g(x)|\,dx=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=\boxed{1}$
Règle de choix pour $u$ et $v'$ (règle LIATE) :
Algorithme :
$\displaystyle\int x e^x\,dx$ : $u=x$, $v'=e^x$ → $u'=1$, $v=e^x$.
$\int x e^x\,dx=xe^x-\int e^x\,dx=xe^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$
$\displaystyle\int\ln x\,dx$ : $u=\ln x$, $v'=1$ → $u'=\dfrac{1}{x}$, $v=x$.
$\int\ln x\,dx=x\ln x-\int 1\,dx=x\ln x-x+C$
Choisir $u$ et $v'$ à l'envers rend l'intégrale plus compliquée. Ex : pour $\int x e^x$, si on pose $u=e^x$ et $v'=x$, on obtient $\int \frac{x^2}{2}e^x$ — encore plus difficile. Toujours choisir $u$ = la fonction qui se simplifie par dérivation.
Méthode :
$\displaystyle\int_0^1 2x\sqrt{x^2+1}\,dx$ : $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$. Bornes : $u(0)=1$, $u(1)=2$.
$\displaystyle\int_1^2\sqrt{u}\,du=\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^2=\dfrac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$
Ne pas oublier de changer les bornes lors d'un changement de variable sur une intégrale définie. C'est l'erreur la plus fréquente : on fait le changement $u=g(x)$ mais on garde les bornes en $x$ — le résultat est alors faux. Les nouvelles bornes sont $g(a)$ et $g(b)$.
Méthode de décomposition en éléments simples : si $\text{deg}(P)<\text{deg}(Q)$, décomposer $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ selon les racines (simples ou multiples) de $Q$.
Décomposition de $\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)}$ avec $a\neq b$ :
$\dfrac{P(x)}{(x-a)(x-b)}=\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{x-b}$ avec $A=\dfrac{P(a)}{a-b}$ et $B=\dfrac{P(b)}{b-a}$.
$\dfrac{1}{x^2-1}=\dfrac{1}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{1/2}{x-1}-\dfrac{1/2}{x+1}$
Primitive : $\dfrac{1}{2}\ln|x-1|-\dfrac{1}{2}\ln|x+1|+C=\dfrac{1}{2}\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C$
Décomposer avant d'intégrer ! On ne peut pas intégrer directement $\dfrac{1}{x^2-1}$ en "$\ln|x^2-1|$" — c'est faux. La primitive de $\dfrac{u'}{u}$ exige que le numérateur soit exactement la dérivée du dénominateur. Ici $\dfrac{(x^2-1)'}{x^2-1}=\dfrac{2x}{x^2-1}$, pas $\dfrac{1}{x^2-1}$.
Calculer par IPP :
Rappel : $\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx=[uv]_a^b-\int_a^b u'v\,dx$
a) $u=x$, $v'=e^x$ → $u'=1$, $v=e^x$.
$\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-[e^x]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}$
b) $u=x$, $v'=\cos x$ → $u'=1$, $v=\sin x$.
$\displaystyle\int_0^{\pi} x\cos x\,dx=[x\sin x]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\,dx=0-[-\cos x]_0^{\pi}=-((-\cos\pi)+\cos 0)=-(1+1)=\boxed{-2}$
c) $u=\ln x$, $v'=1$ → $u'=\dfrac{1}{x}$, $v=x$.
$\displaystyle\int_1^e \ln x\,dx=[x\ln x]_1^e-\int_1^e 1\,dx=(e\cdot1-0)-(e-1)=e-e+1=\boxed{1}$
Calculer par changement de variable :
a) $u=1+x$, $du=dx$. Bornes : $x=0\to u=1$ ; $x=1\to u=2$.
$\displaystyle\int_1^2 \sqrt{u}\,du=\left[\dfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_1^2=\dfrac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)$
b) $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$. Poser $u=\cos x$, $du=-\sin x\,dx$. Bornes : $x=0\to u=1$ ; $x=\pi/4\to u=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
$\displaystyle\int_1^{\sqrt{2}/2}\dfrac{-du}{u}=\left[-\ln u\right]_1^{\sqrt{2}/2}=\ln 1-\ln\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\ln\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\dfrac{\ln 2}{2}$
c) $u=1-x^2$, $du=-2x\,dx$ donc $x\,dx=-\dfrac{du}{2}$. Bornes : $x=0\to u=1$ ; $x=1\to u=0$.
$\displaystyle\int_1^0\sqrt{u}\cdot\left(-\dfrac{du}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\int_0^1\sqrt{u}\,du=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}=\boxed{\dfrac{1}{3}}$
Calculer les intégrales suivantes (décomposer en éléments simples si nécessaire) :
a) $\displaystyle\int_2^4\dfrac{dx}{x-1}=\left[\ln|x-1|\right]_2^4=\ln 3-\ln 1=\boxed{\ln 3}$
b) On reconnaît $\dfrac{u'}{2u}$ avec $u=x^2+1$, $u'=2x$.
$\displaystyle\int_0^1\dfrac{x\,dx}{x^2+1}=\dfrac{1}{2}\left[\ln(x^2+1)\right]_0^1=\dfrac{1}{2}(\ln 2-\ln 1)=\boxed{\dfrac{\ln 2}{2}}$
c) Décomposition : $\dfrac{3}{(x+1)(x-1)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+1}$.
$3=A(x+1)+B(x-1)$. $x=1$ : $A=\dfrac{3}{2}$ ; $x=-1$ : $B=-\dfrac{3}{2}$.
$\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac{3/2}{x-1}-\dfrac{3/2}{x+1}\right)dx=\dfrac{3}{2}\left[\ln|x-1|-\ln|x+1|\right]_1^2=\dfrac{3}{2}\left(\ln 1-\ln 3-(\ln 0^+\text{ n'est pas défini})\right)$
Attention : la borne $x=1$ est problématique ($\ln 0$), cette intégrale est impropre et diverge. Corriger en $\displaystyle\int_{3/2}^2\ldots$ : $=\dfrac{3}{2}\left[(\ln 1-\ln 3)-(\ln\tfrac{1}{2}-\ln\tfrac{5}{2})\right]=\dfrac{3}{2}\left(-\ln 3+\ln\tfrac{5}{2}-\ln\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{2}\ln\dfrac{5}{3}$.
Cas particulier : Aire sous une courbe positive par rapport à l'axe des abscisses : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ (si $f\geq0$).
Algorithme :
Aire entre $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0,1]$. Intersections : $x=x^2\Rightarrow x=0$ ou $x=1$. Sur $[0,1]$ : $x\geq x^2$.
$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$ u.a.
L'aire est toujours positive — ne jamais laisser un résultat d'aire négatif. Si $\displaystyle\int_a^b(f-g)\,dx<0$, c'est que $g$ est au-dessus de $f$, et l'aire vaut $\displaystyle\int_a^b(g-f)\,dx>0$. Vérifier le signe de $f-g$ avant d'intégrer.
Interprétation : Le rectangle de base $[a,b]$ et de hauteur $\mu$ a la même aire que la surface sous la courbe $\mathcal{C}_f$ entre $a$ et $b$.
Calcul :
Valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0,3]$ : $\mu=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac{1}{3}\cdot9=3$.
Vérification TVM : $f(c)=3\Rightarrow c^2=3\Rightarrow c=\sqrt{3}\approx1{,}73\in[0,3]$ ✓.
La valeur moyenne d'une fonction n'est pas la moyenne de $f(a)$ et $f(b)$ ! $\mu=\dfrac{f(a)+f(b)}{2}$ n'est valide que pour les fonctions affines. Pour toute autre fonction, il faut impérativement calculer l'intégrale.
Soient $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x-x^2+2$. Dans un repère orthonormé :
1. $f(x)=g(x)\iff x^2=2x-x^2+2\iff 2x^2-2x-2=0\iff x^2-x-1=0$
$\Delta=1+4=5$, $x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$. Posons $\alpha=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0{,}618$ et $\beta=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1{,}618$.
2. $g(x)-f(x)=-2x^2+2x+2=-2(x^2-x-1)=-2(x-\alpha)(x-\beta)$.
Sur $[\alpha,\beta]$ : $(x-\alpha)\geq0$ et $(x-\beta)\leq0$ donc $g(x)-f(x)\geq0$. La courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus de $\mathcal{C}_f$.
3. $\mathcal{A}=\displaystyle\int_\alpha^\beta (g(x)-f(x))\,dx=\int_\alpha^\beta(-2x^2+2x+2)\,dx=\left[-\dfrac{2x^3}{3}+x^2+2x\right]_\alpha^\beta$
On utilise le fait que $-2(x-\alpha)(x-\beta)$ est un trinôme avec racines $\alpha,\beta$ et coefficient $-2$ : $\mathcal{A}=\dfrac{|-2|(\beta-\alpha)^3}{6}=\dfrac{2(\sqrt{5})^3}{6}=\dfrac{2\cdot5\sqrt{5}}{6}=\boxed{\dfrac{5\sqrt{5}}{3}}$ u.a.
On considère $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,4]$.
1. $\mu=\dfrac{1}{4-0}\displaystyle\int_0^4\sqrt{x}\,dx=\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot8=\dfrac{4}{3}$
2. $V=\pi\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\pi\cdot8=\boxed{8\pi}$ unités³
3. $f(c)=\mu=\dfrac{4}{3}$, soit $\sqrt{c}=\dfrac{4}{3}$, donc $c=\dfrac{16}{9}\approx1{,}78\in[0,4]$ ✓.
La valeur moyenne est bien atteinte (car $f$ est continue sur $[0,4]$ : théorème de la valeur moyenne intégrale).
La concentration d'un médicament dans le sang (en mg/L) est modélisée par :
$C(t)=4te^{-t}$ pour $t\in[0,5]$ ($t$ en heures).
1. IPP pour $\displaystyle\int_0^5 4te^{-t}\,dt$ : $u=4t$, $v'=e^{-t}$ → $u'=4$, $v=-e^{-t}$.
$\displaystyle\int_0^5 4te^{-t}\,dt=\left[-4te^{-t}\right]_0^5+\int_0^5 4e^{-t}\,dt=-20e^{-5}+\left[-4e^{-t}\right]_0^5=-20e^{-5}-4e^{-5}+4=4-24e^{-5}$
$\bar{C}=\dfrac{1}{5}(4-24e^{-5})=\dfrac{4-24e^{-5}}{5}\approx\dfrac{4-0{,}162}{5}\approx\boxed{0{,}768}$ mg/L
2. La concentration moyenne sur les 5 premières heures est d'environ $0{,}77$ mg/L.
3. Résoudre $4t^*e^{-t^*}=0{,}768$. Par tâtonnement : $C(1)\approx4e^{-1}\approx1{,}47$ (trop grand) ; $C(3)\approx12e^{-3}\approx0{,}60$ ; $C(2)\approx8e^{-2}\approx1{,}08$ ; $C(2{,}5)\approx10e^{-2{,}5}\approx0{,}82$ ; $C(2{,}7)\approx10{,}8e^{-2{,}7}\approx0{,}74$. Donc $t^*\approx2{,}6$ h.
Pour dériver une intégrale à borne variable :
Exemple : $H(x)=\displaystyle\int_1^{x^2}\cos t\,dt$ → $H'(x)=\cos(x^2)\cdot2x$
$F(x)=\displaystyle\int_0^x(1+t^2)\,dt$ → $F'(x)=1+x^2$ (TFA direct).
$G(x)=\displaystyle\int_x^3\sin t\,dt=-\displaystyle\int_3^x\sin t\,dt$ → $G'(x)=-\sin x$.
Confondre $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ (nombre) et $\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ (fonction de $x$). Dans la première, $x$ est la variable d'intégration (muette) et $a,b$ sont des constantes. Dans la seconde, $x$ est la borne supérieure et $t$ la variable muette. Dériver $\int_a^x f(t)\,dt$ par rapport à $x$ donne $f(x)$. Dériver $\int_a^b f(x)\,dx$ est sans sens (c'est un nombre).
Stratégie d'encadrement :
Encadrer $I=\displaystyle\int_0^1\dfrac{dx}{1+x^2}$. Sur $[0,1]$ : $\dfrac{1}{2}\leq\dfrac{1}{1+x^2}\leq1$.
$\dfrac{1}{2}\leq I\leq1$. La valeur exacte est $[\arctan x]_0^1=\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}785$ ✓.
L'inégalité de la moyenne donne $m(b-a)\leq I\leq M(b-a)$, et non $m\leq I\leq M$. Il faut multiplier par la longueur de l'intervalle. Si $[a,b]=[0,2]$ et $1\leq f\leq3$, l'encadrement est $2\leq I\leq6$, pas $1\leq I\leq3$.
On définit $F(x)=\displaystyle\int_1^x \dfrac{t^2-1}{t^2+1}\,dt$ pour $x\in[1,+\infty[$.
1. $F(1)=\displaystyle\int_1^1(\ldots)dt=\boxed{0}$
2. Par le TFA : $F'(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$
3. Sur $[1,+\infty[$ : $x\geq1$ donc $x^2\geq1$ donc $x^2-1\geq0$ et $x^2+1>0$ → $F'(x)\geq0$.
$F'(x)=0\iff x=1$. Donc $F$ est croissante sur $[1,+\infty[$ (strictement pour $x>1$).
4. $\dfrac{t^2-1}{t^2+1}=\dfrac{t^2+1-2}{t^2+1}=1-\dfrac{2}{t^2+1}$
$F(x)=\displaystyle\int_1^x\left(1-\dfrac{2}{t^2+1}\right)dt=\left[t-2\arctan t\right]_1^x=(x-2\arctan x)-\left(1-2\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)=x-2\arctan x-1+\dfrac{\pi}{2}$
Soit $f(x)=e^{-x^2}$ sur $[0,1]$.
1. Sur $[0,1]$, $0\leq x^2\leq1$, donc $-1\leq-x^2\leq0$, donc $e^{-1}\leq e^{-x^2}\leq e^0=1$.
2. Par positivité et linéarité de l'intégrale :
$\displaystyle\int_0^1 e^{-1}\,dx\leq\int_0^1 e^{-x^2}\,dx\leq\int_0^1 1\,dx$
$\boxed{\dfrac{1}{e}\leq I\leq 1}$, soit $0{,}368\leq I\leq1$.
3. $e^u\geq1+u$ pour tout $u\in\mathbb{R}$ (inégalité classique). Appliquer avec $u=-x^2$ :
$e^{-x^2}\geq1+(-x^2)=1-x^2$. D'autre part $e^{-x^2}\leq1$ (déjà vu).
Donc $1-x^2\leq e^{-x^2}\leq1$ sur $[0,1]$.
4. $\displaystyle\int_0^1(1-x^2)\,dx\leq I\leq\int_0^1 1\,dx$
$\left[x-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.
$\boxed{\dfrac{2}{3}\leq I\leq 1}$ — meilleur encadrement ($0{,}667\leq I\leq1$). La valeur exacte est $I\approx0{,}747$.
Toute primitive s'écrit $F(x)+C$. Sans $C$, on a seulement une primitive particulière, pas la famille complète. Au concours, on demande souvent la primitive vérifiant $F(a)=k$ — il faut déterminer $C$.
La relation de Chasles est $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$. Erreur fréquente : écrire $\int_a^b=\int_a^c-\int_b^c$ (signe incorrect). Retenir aussi : $\int_b^a=-\int_a^b$.
$\int_a^b f(x)\,dx$ peut être négatif si $f<0$, mais une aire est toujours positive. Pour calculer une aire, utiliser $\int_a^b|f(x)|\,dx$ ou découper aux zéros de $f$. Ne jamais laisser un résultat d'aire négatif.
Dans $\int x e^x\,dx$, choisir $u=e^x$ et $v'=x$ donne $\int\frac{x^2}{2}e^x$ — encore plus difficile. La règle LIATE : $u$ est la fonction qui se simplifie par dérivation (polynôme, $\ln$). $v'$ est la fonction facile à intégrer ($e^x$, $\sin$, $\cos$).
Lors d'un changement de variable $u=g(x)$ sur $\int_a^b$, les nouvelles bornes sont $g(a)$ et $g(b)$. Garder les bornes $a$ et $b$ mais intégrer en $u$ est une erreur grave. Toujours transformer bornes, intégrande et différentielle en même temps.
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$ (direct). Mais $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2}f(t)\,dt=f(x^2)\cdot2x$ (règle de la chaîne). Et $\frac{d}{dx}\int_a^b f(x)\,dx=0$ (c'est un nombre). Ne pas confondre ces trois situations.
$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx\neq\ln|x^2-1|+C$. La primitive de $\frac{u'}{u}$ exige que le numérateur soit exactement $u'$. Ici $(x^2-1)'=2x\neq1$. Il faut décomposer : $\frac{1}{x^2-1}=\frac{1/2}{x-1}-\frac{1/2}{x+1}$, puis intégrer chaque terme.
$\int_a^b|f(x)|\,dx\neq\left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$ en général. Pour calculer $\int|f|$, il faut identifier les zéros de $f$ sur $[a,b]$, découper l'intervalle, et alterner les signes selon le signe de $f$ sur chaque sous-intervalle.