Trois modes de définition :
Pour calculer $u_p$ avec une formule explicite : substituer $n=p$ dans l'expression.
Pour calculer des termes par récurrence : partir de $u_0$, puis calculer $u_1=g(u_0)$, $u_2=g(u_1)$, etc.
$u_n=n^2-3n+2$ : $u_0=2$, $u_1=0$, $u_2=0$, $u_3=2$, $u_4=6$.
Suite de Fibonacci : $u_0=1$, $u_1=1$, $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ → $u_2=2$, $u_3=3$, $u_4=5$, $u_5=8$.
Ne pas confondre terme de rang $n$ ($u_n$) et rang d'un terme (le $n$ tel que $u_n=k$). Pour trouver le rang : résoudre $f(n)=k$ en $n$.
Exemples courants : $(u_{2n})$ (termes pairs), $(u_{2n+1})$ (termes impairs), $(u_{n^2})$.
Changement d'indice : Si $v_n=u_{n+k}$, alors $(v_n)$ est la suite $(u_n)$ décalée de $k$ rangs.
Pour passer de $u_{n+1}$ à une expression en $u_n$ : poser $v_n=u_{n+1}$, alors $v_n=g(v_{n-1})$ avec $v_0=u_1$.
$u_n=(-1)^n$ : $(u_{2n})=1$ (constante, converge) ; $(u_{2n+1})=-1$ (constante, converge) mais $(u_n)$ diverge.
Une suite extraite peut converger même si la suite mère diverge (ex ci-dessus). La réciproque est aussi fausse en général.
Pour chacune des suites suivantes, calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ :
a) $u_0=1$, $u_1=2$, $u_2=9$, $u_3=22$
b) $u_0=\frac{1}{2}$, $u_1=\frac{2}{3}$, $u_2=\frac{3}{4}$, $u_3=\frac{4}{5}$
c) $u_0=2$ ; $u_1=3\cdot2-1=5$ ; $u_2=3\cdot5-1=14$ ; $u_3=3\cdot14-1=41$
d) $u_1=1$, $u_2=1$, $u_3=u_2+u_1=2$, $u_4=u_3+u_2=3$
On donne la suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = u_n + 4$.
1. $u_1=7$, $u_2=11$, $u_3=15$, $u_4=19$
2. On conjecture $u_n = 4n+3$.
3. Récurrence :
• Initialisation : $u_0=3=4\cdot0+3$ ✓
• Hérédité : Supposons $u_n=4n+3$. Alors $u_{n+1}=u_n+4=4n+3+4=4(n+1)+3$ ✓
Par le principe de récurrence, $\boxed{u_n=4n+3}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Cas particuliers : $r=0$ → suite constante ; $r>0$ → suite croissante ; $r<0$ → suite décroissante.
Pour reconnaître une SA : calculer $u_{n+1}-u_n$ et vérifier que c'est constant.
Pour trouver $r$ et $u_0$ : $r=\dfrac{u_p-u_q}{p-q}$ ; puis $u_0=u_p-pr$.
$u_3=11$ et $u_7=19$. Raison : $r=\dfrac{19-11}{7-3}=2$. Premier terme : $u_0=u_3-3r=11-6=5$.
Vérification : $u_n=5+2n$ → $u_3=11$ ✓, $u_7=19$ ✓.
Ne pas confondre raison $r$ (différence constante) avec premier terme $u_0$. La raison peut être négative, nulle, ou non entière.
Pour calculer $S=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q$ : nombre de termes = $q-p+1$, donc $S=(q-p+1)\cdot\dfrac{u_p+u_q}{2}$.
$(u_n)$ arithmétique : $u_0=2$, $r=5$. $u_n=2+5n$.
$S_9=u_0+\cdots+u_9=10\cdot\dfrac{u_0+u_9}{2}=10\cdot\dfrac{2+47}{2}=10\cdot24{,}5=\boxed{245}$
$u_9=2+45=47$ ✓. Vérification : $S_9=\sum_{k=0}^9(2+5k)=20+5\cdot\frac{9\times10}{2}=20+225=245$ ✓
Compter soigneusement le nombre de termes : la somme $u_p+\cdots+u_q$ contient $q-p+1$ termes (et non $q-p$). Exemple : $u_0+u_1+u_2+u_3$ → 4 termes, pas 3.
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = -5$ et de raison $r = 3$.
1. $u_n = u_0 + nr = -5 + 3n$
2. $u_{20}=-5+60=\boxed{55}$ ; $u_{100}=-5+300=\boxed{295}$
3. $-5+3n=100 \Rightarrow 3n=105 \Rightarrow \boxed{n=35}$
4. $u_{30}=-5+90=85$. Formule : $S_{30}=\dfrac{31(u_0+u_{30})}{2}=\dfrac{31(-5+85)}{2}=\dfrac{31\times80}{2}=\boxed{1240}$
Un élève décide d'épargner chaque mois. Il met de côté 50 MAD le premier mois, puis augmente sa mise de 20 MAD chaque mois.
1. Suite arithmétique : $u_n = 50 + 20n$ (MAD)
2. Mois 12 correspond à $n=11$ : $u_{11}=50+220=\boxed{270}$ MAD
3. $S_{11}=\dfrac{12(u_0+u_{11})}{2}=\dfrac{12(50+270)}{2}=\dfrac{12\times320}{2}=\boxed{1920}$ MAD
4. $S_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}=\dfrac{(n+1)(50+50+20n)}{2}=\dfrac{(n+1)(100+20n)}{2}=10(n+1)(n+5)$
$10(n+1)(n+5)>5000 \Rightarrow (n+1)(n+5)>500 \Rightarrow n^2+6n+5>500$
$n^2+6n-495>0$. Discriminant : $36+4\times495=2016$. $\sqrt{2016}\approx44{,}9$. $n>\dfrac{-6+44{,}9}{2}\approx19{,}5$ → $\boxed{n\geq20}$, soit au bout de 21 mois.
On donne la suite $(v_n)$ définie par $v_n = \ln\!\left(\dfrac{3^n \cdot e^n}{e^{2n}}\right)$.
1. $v_n = \ln(3^n \cdot e^n \cdot e^{-2n}) = \ln(3^n \cdot e^{-n}) = n\ln3 - n = n(\ln3-1)$
2. $v_{n+1}-v_n=(n+1)(\ln3-1)-n(\ln3-1)=\ln3-1$ = constante → SA de raison $r=\ln3-1\approx0{,}099$
3. $v_0=0$, $v_{n-1}=(n-1)(\ln3-1)$. Somme : $\dfrac{n(v_0+v_{n-1})}{2}=\dfrac{n(n-1)(\ln3-1)}{2}$
Cas particuliers : $q=1$ → suite constante ; $q=-1$ → alternance $+u_0,-u_0$ ; $|q|<1$ → suite qui tend vers $0$ ; $|q|>1$ → suite qui diverge.
Pour reconnaître une SG : vérifier que le rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant.
Pour trouver $q$ et $u_0$ : $q=\left(\dfrac{u_p}{u_q}\right)^{1/(p-q)}$ (si $q>0$) ; $u_0=\dfrac{u_p}{q^p}$.
$(u_n)$ géométrique, $u_2=12$, $u_5=96$. $q^3=\dfrac{u_5}{u_2}=8 \Rightarrow q=2$. $u_0=\dfrac{12}{4}=3$. Donc $u_n=3\cdot2^n$.
Si $q<0$, la suite change de signe alternativement → ne pas utiliser $\sqrt{u_n/u_{n-1}}$ sans vérifier le signe. La formule $|u_n|=|u_0|\cdot|q|^n$ reste valable.
Mnémotechnique : $S_n = \dfrac{\text{premier} - \text{dernier}\times q}{1-q} = \dfrac{u_0-u_n\cdot q}{1-q}$ (valable car $u_{n+1}=u_n\cdot q$).
$u_0=5$, $q=2$, calculer $S_6=u_0+\cdots+u_6=5\cdot\dfrac{1-2^7}{1-2}=5\cdot\dfrac{-127}{-1}=5\times127=\boxed{635}$
Vérification rapide : $u_6=5\times64=320$. $S_6=5+10+20+40+80+160+320=635$ ✓
La formule $\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ donne la somme de $n+1$ termes ($u_0$ à $u_n$). Si on somme de $u_1$ à $u_n$, il faut retirer $u_0$. Ne pas oublier le $+1$ dans l'exposant : somme de $n+1$ termes → $q^{n+1}$, pas $q^n$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0 = 4$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$.
1. $u_n = 4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = \dfrac{4}{2^n} = \dfrac{1}{2^{n-2}}$
2. $u_5=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}$ ; $u_{10}=\dfrac{4}{1024}=\dfrac{1}{256}$
3. $q=\frac{1}{2}\neq1$ : $S_n = 4\cdot\dfrac{1-(1/2)^{n+1}}{1-1/2}=8\left(1-\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)=8-\dfrac{1}{2^{n-2}}$
4. Comme $|q|=\frac{1}{2}<1$, $(1/2)^{n+1}\to0$, donc $S_n\to\boxed{8}$.
Un capital de 10 000 MAD est placé à un taux annuel de 5 %. On note $C_n$ le capital après $n$ années.
1. Suite géométrique : $C_n = 10\,000\times(1{,}05)^n$ MAD
2. $C_{10}=10\,000\times(1{,}05)^{10}\approx10\,000\times1{,}6289=\boxed{16\,288{,}95}$ MAD
3. $10\,000\times(1{,}05)^n\geq20\,000 \Rightarrow (1{,}05)^n\geq2 \Rightarrow n\ln1{,}05\geq\ln2$
$n\geq\dfrac{0{,}693}{0{,}0488}\approx14{,}2$ → Le capital double au bout de 15 ans.
On considère la suite $(w_n)$ définie par $w_0=2$ et $w_{n+1}=\dfrac{3}{2}w_n$.
1. $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{3}{2}$ = constante $\Rightarrow$ suite géométrique de raison $q=\dfrac{3}{2}$.
2. $w_n=2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^n$
3. $S=\sum_{k=0}^{n-1}w_k=2\cdot\dfrac{1-(3/2)^n}{1-3/2}=2\cdot\dfrac{(3/2)^n-1}{1/2}=4\left[\left(\dfrac{3}{2}\right)^n-1\right]$
4. $q=3/2>1$ donc $(w_n)$ est strictement croissante. Comme $q>1$, $w_n=2\cdot(3/2)^n\to\boxed{+\infty}$.
Méthode 1 (différence) : Calculer $u_{n+1}-u_n$ et étudier son signe.
Méthode 2 (rapport, si $u_n>0$) : Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et comparer à $1$.
Méthode 3 (récurrence) : Prouver que si $u_n>a$ alors $u_{n+1}>a$ (invariant).
$u_n=\dfrac{n+3}{n+1}$. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{n+4}{n+2}-\dfrac{n+3}{n+1}=\dfrac{(n+4)(n+1)-(n+3)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{-2}{(n+2)(n+1)}<0$
Donc $(u_n)$ est strictement décroissante.
Une suite peut être ni croissante, ni décroissante : $u_n=(-1)^n$ oscille. Toujours vérifier le signe du bon côté (différence ou rapport ?).
Pour montrer la convergence de $u_{n+1}=f(u_n)$ :
$u_0=2$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Candidat : $\ell=\ell^2-2$... En fait $\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow\ell^2-\ell-2=0\Rightarrow(\ell-2)(\ell+1)=0\Rightarrow\ell=2$ (car $\ell\geq0$).
Le théorème ne s'applique que si les deux conditions sont remplies simultanément (croissante ET majorée). Une suite croissante non majorée diverge vers $+\infty$.
Étudier le sens de variation des suites suivantes :
a) $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-5(n+1)+3-(n^2-5n+3)=2n-4$
$2n-4\geq0\iff n\geq2$. Donc $(u_n)$ est décroissante pour $n\leq1$ et croissante pour $n\geq2$.
b) $v_{n+1}-v_n=\dfrac{n+2}{n+3}-\dfrac{n+1}{n+2}=\dfrac{(n+2)^2-(n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\dfrac{1}{(n+2)(n+3)}>0$
Donc $(v_n)$ est strictement croissante.
c) $w_{n+1}-w_n=\sqrt{w_n+2}-w_n$. Puisque $w_n>2$, étudions $f(x)=\sqrt{x+2}-x$ pour $x>2$.
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+2}}-1<0$ pour $x>2$ donc $f$ décroissante. $f(2)=2-2=0$, donc $f(x)<0$ pour $x>2$.
Ainsi $w_{n+1}
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}+1$.
1. $u_1=1{,}5$ ; $u_2=1{,}75$ ; $u_3=1{,}875$
2. Récurrence : Pour $n=0$ : $1\leq u_0=1\leq2$ ✓. Supposons $1\leq u_n\leq2$.
$1\leq u_n\leq2 \Rightarrow \frac{1}{2}\leq\frac{u_n}{2}\leq1 \Rightarrow \frac{3}{2}\leq u_{n+1}\leq2$ → en particulier $1\leq u_{n+1}\leq2$ ✓
3. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{2}+1-u_n=1-\dfrac{u_n}{2}\geq1-\dfrac{2}{2}=0$ (car $u_n\leq2$). Donc croissante.
4. $(u_n)$ est croissante et majorée par $2$ → converge vers $\ell\in[1,2]$.
$\ell=\dfrac{\ell}{2}+1 \Rightarrow \dfrac{\ell}{2}=1 \Rightarrow \boxed{\ell=2}$
Formes indéterminées (FI) à lever : $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, $1^\infty$, $0\times\infty$.
• $\frac{\infty}{\infty}$ : diviser par le terme dominant. Ex : $\frac{3n^2+1}{n^2-2}\to3$.
• $\infty-\infty$ : factoriser ou conjuguer. Ex : $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to0$.
$u_n=\dfrac{2n^3-5n}{n^3+1}=\dfrac{2-5/n^2}{1+1/n^3}\to\dfrac{2-0}{1+0}=\boxed{2}$
$v_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\cdot n^{100}$ : $|2/3|<1$ → croissances comparées → $v_n\to\boxed{0}$
Attention aux formes indéterminées : $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty-\infty$, etc. → ne jamais « simplifier » sans avoir résolu la FI. $\lim(n^2-n^2)\neq0-0$, il faut factoriser d'abord.
Appliquer les gendarmes : encadrer $u_n$ entre deux suites dont on connaît la limite commune.
Ex : $u_n=\dfrac{\sin n}{n}$. $-\dfrac{1}{n}\leq u_n\leq\dfrac{1}{n}$ et $\pm\frac{1}{n}\to0$ → $u_n\to0$.
$u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}$. $-\dfrac{1}{n}\leq u_n\leq\dfrac{1}{n}$, les deux $\to0$ → $\boxed{\lim u_n=0}$.
$v_n=n^3e^{-n}$. Croissances comparées : $\dfrac{n^3}{e^n}\to0$ → $\boxed{\lim v_n=0}$.
Les formes indéterminées $+\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ ne permettent pas de conclure directement. L'algèbre des limites ne s'applique qu'aux formes non indéterminées.
Pour construire des suites adjacentes : prendre $u_n$ et $v_n=u_n+\frac{c}{f(n)}$ et montrer les 3 propriétés.
Application typique : $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$ (constante d'Euler) : les suites $u_n$ et $u_n+\frac{1}{n}$ sont adjacentes.
$u_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^n}$ et $v_n=u_n+\frac{1}{2^n}$. On peut montrer qu'elles sont adjacentes et convergent vers $2$ (somme de la série géométrique $\sum 1/2^k$).
Les suites adjacentes convergent toutes les deux vers la même limite. Il ne faut pas calculer séparément les limites de $u_n$ et $v_n$ — elles sont forcément égales si les suites sont bien adjacentes.
Calculer les limites suivantes (justifier) :
a) Diviser par $n^2$ : $\dfrac{3+2/n-1/n^2}{1+5/n^2}\to\dfrac{3}{1}=\boxed{3}$
b) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\to\boxed{0}$ (car dénominateur $\to+\infty$)
c) Par définition du nombre $e$ : $\boxed{\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\approx2{,}718}$
d) Croissances comparées : pour $|q|<1$, $n\cdot q^n\to\boxed{0}$ (l'exponentielle l'emporte sur le polynôme).
Soient les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=0$, $v_0=1$ et :
$$u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}, \quad v_{n+1}=\sqrt{u_n\cdot v_n}$$1. $u_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5$ ; $v_1=\sqrt{0\cdot1}=0$ — correction : utiliser $u_0=1$, $v_0=2$ pour éviter division par 0.
Reprenons avec $u_0=1$, $v_0=2$ : $u_1=\frac{3}{2}=1{,}5$ ; $v_1=\sqrt{2}\approx1{,}414$ ; $u_2\approx1{,}457$ ; $v_2\approx1{,}456$
3. $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}{2}-u_n=\dfrac{v_n-u_n}{2}\geq0$ (car $v_n\geq u_n$) → $(u_n)$ croissante.
$v_{n+1}-v_n=\sqrt{u_nv_n}-v_n=\sqrt{v_n}(\sqrt{u_n}-\sqrt{v_n})\leq0$ → $(v_n)$ décroissante.
4. $v_{n+1}-u_{n+1}=\sqrt{u_nv_n}-\dfrac{u_n+v_n}{2}\leq0$ car MA $\geq$ MG (toujours, avec égalité ssi $u_n=v_n$).
On peut montrer $|v_n-u_n|\leq\dfrac{1}{2^n}|v_0-u_0|\to0$ → suites adjacentes → convergent vers la même limite (moyenne arithmético-géométrique).
La somme $u_p+u_{p+1}+\cdots+u_q$ contient $\mathbf{q-p+1}$ termes (et non $q-p$). Ex : $u_0+u_1+u_2+u_3$ → 4 termes. Formule SA : $(q-p+1)\cdot\frac{u_p+u_q}{2}$.
$S_n=u_0\cdot\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ (exposant $n+1$, pas $n$). Somme de $n+1$ termes (de $u_0$ à $u_n$) → $q^{n+1}$.
Si $-1
$\lim(n^2-n)\neq+\infty-\infty$ (FI). Factoriser : $n^2-n=n(n-1)\to+\infty$. Ne jamais « calculer » une FI sans la lever.
Il faut les deux conditions : croissante ET majorée (ou décroissante ET minorée). Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
Si $q<0$, les termes alternent de signe. La formule $u_n=u_0\cdot q^n$ reste valable, mais éviter le rapport $u_{n+1}/u_n$ quand $u_n=0$.
La limite $\ell$ vérifie $\ell=f(\ell)$, mais l'équation peut avoir plusieurs solutions. Choisir la solution cohérente avec le domaine (et le fait que $u_n$ est bornée/croissante).
Forme $1^{+\infty}$ — forme indéterminée ! La base tend vers $1$ mais l'exposant vers $+\infty$. La limite vaut $e\approx2{,}718$ et non $1^{+\infty}$.